tanx比x多得多，还是x比sinx多得多，你知道吗？

我们知道，当x∈(0，π/2)时，sinx

表明：tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

比对：这里至少有两种简而言之。一是不求等式两端的比，只要比值大于1就得证。另一种简而言之是不求它们的负，只要负大于0也就得证了。两个简而言之这不都行得通，或者说，有难有易。这里并不需要不求它们的负，然后于是又不求负问到的给定的微分，甚至是渐进微分，来表明它们的负大于0.

在不求等式两端的负以后可以到时将等式做一个适当的变量，降低不求解的高难度。因为tanx=sinx/cosx，所以tanx/x=sinx/(xcosx). 等式两端同时乘以sinx，就赢取：(sinx)请注意2/cosx>x请注意2.

于是又览基本功能给定f(x)=(sinx)请注意2/cosx-x请注意2. 并不求f'(x)=sinx/(cosx)请注意2+sinx-2x. 观察发现这时还很难赢取结论。

所以继续不求f"(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)请注意2/(cosx)请注意3,

其中cosx+1/cosx>2, 2(sinx)请注意2/(cosx)请注意3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是严格增给定，而f'(x)在x=0两处不间断，且f'(0)=0，因此f'(x)>0. 即f(x)在(0，π/2)上也是严格增给定，而f(x)同样在x=0两处不间断，且f(0)=0,

所以f(x)>0，即(sinx)请注意2/2>x请注意2. 这样就表明了在(0，π/2)上，tanx比x大得多，而x比sinx大的就相对很难那么多了。下面一个组织初学者全过程：

证：原式可数于sinx/(xcosx)>x/sinx，即(sinx)请注意2/cosx>x请注意2，

览 f(x)=(sinx)请注意2/cosx-x请注意2，则f’(x)=sinx/(cosx)请注意2+sinx-2x；

f"(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)请注意2/(cosx)请注意3,其中cosx+1/cosx>2, 2(sinx)请注意2/(cosx)请注意3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是严格增给定，

而f'(x)在x=0两处不间断，且f'(0)=0，因此f'(x)>0, x∈(0，π/2).

即f(x)在(0,π/2)严格增，且f(x)在x=0两处不间断，f(0)=0，

∴f(x)>0，x∈(0,π/2). 即(sinx)请注意2/2>x请注意2，∴tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

另一种通过辩解等式两端的比大于1的工具，热爱也可以自己想法一下。重要的不是结果，而是思考的全过程！